三种对称性：恒等、反射与对偶

壹三个操作：id、R、T

恒等保持，反射取负，对偶取逆

对任意对象 $x$，定义三种对称变换：

把三种操作依次作用在 $x$、虚数单位 $i$、欧拉点 $e^{i\pi}$ 上，得到三列对称的结果：

贰关键：在虚数单位上，R 与 T 重合

i 的倒数恰好是 i 的反射

反射把 $i$ 送到 $-i$，对偶把 $i$ 送到 $i^{-1}$。由 $i^2=-1$：

于是两个看似不同的操作，在虚数单位上给出完全相同的结果：

几何上这非常直观：在复平面里，$i$ 位于单位圆与虚轴的交点。反射（关于实轴）把它翻到 $-i$，倒数对偶（模取倒数、幅角取反）因为它的模本来就是 $1$，也只完成一次翻转，同样到达 $-i$。单位圆上的纯虚点，正是两种对称重合的地方。

叁复合出第四个操作：克莱因四元群

反射再对偶，两次翻转回到恒等

把反射与对偶复合，记 $C=R\circ T$。作用在 $i$ 上：

反射两次回原位、对偶两次也回原位：$R^2=\mathrm{id}$，$T^2=\mathrm{id}$；两种操作可交换，复合 $C$ 同样自逆 $C^2=\mathrm{id}$。于是 $\{\mathrm{id},R,T,C\}$ 对复合运算封闭，构成克莱因四元群 $V_4$，每个元素都是自己的逆元：

乘法表：任意两个不同的非恒等操作复合，得到第三个。

肆对偶的代数：复数的倒数、模与幅角

倒数在直角坐标里是实部虚部翻转，在极坐标里是模取倒、幅角取反

设 $s=a+bi$，乘以共轭 $s^*=a-bi$ 得模平方 $x=a^2+b^2$，于是：

写成极坐标 $s=r\,e^{i\theta}$（$r=\sqrt{x}$），三种操作的几何意义一目了然：

伍欧拉公式上的三种对称

实部是 id，虚部是 R，完整指数形式是二者的合成

欧拉公式把指数拆成实部（恒等侧）与虚部（反射侧）：

取倒数对偶，利用 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 可验证手写表中的两行倒数形式——第三列恰好是前两列之和：

即：恒等给出实部 $\pi\cos x$，反射翻转虚部 $i\pi\sin x$ 的符号，对偶给出完整的指数倒数 $e^{-ix}$。三种对称在欧拉恒等式里各司其职，而 $e^{i\pi}=e^{-i\pi}=-1$ 再次回到第一节的三重不动点。

陆重演：ζ 函数零点的四元配对

同一个克莱因四元群，作用在非平凡零点上

黎曼 ζ 函数的函数方程给出 $s\leftrightarrow 1-s$，实系数给出共轭 $s\leftrightarrow\bar{s}$。对任一非平凡零点 $\rho$，连续作用这两个对称，恰好生成四个零点，群结构与上文完全相同：

当零点落在临界线 $\rho=\tfrac12+it$ 上时：

$R$ 与 $T$ 在临界线上重合，四元配对退化为二元共轭对——这与单位圆上 $R(i)=T(i)$ 是同一个群论事实：对称轴（不动线）正是两种不同对称变得不可区分的地方。